1.2.1 Grundstrukturen mit zwei Verknüpfungen

Eine Menge $R$ mit zwei Verknüpfungen $+,\cdot: R\times R\rightarrow R$ heißt Halbring (Ring ohne Eins), wenn

1. $(R,+)$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist,
2. $(R,\cdot)$ eine Halbgruppe ist, und
3. die Distributivgesetze
   $$\forall r,s,t\in R: r(s+t)=rs+rt$$
   $$\forall r,s,t\in R: (r+s)t=rt+st$$
   gelten. Ein Halbring heißt Ring (Ring mit Eins), wenn $(R\verb=\=\{0\}$ ein Monoid mit neutralem Element ist. Ein Halbring R heißt kommutativ, wenn $\forall r,s\in R: rs=sr$

In jedem Halbring gilt: $\forall r\in R: 0r=r0=0$ .

Sei $R$ ein Halbring. Ein Element $r\in R \verb=\=\{0\}$ heißt Nullteiler , falls $\exists s\in R \verb=\=\{0\}:rs=0$ . Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsbereich .

Es gilt:

1. Sei $R$ ein Halbring und $S\subseteq R$ die Menge der Nichtnullteiler. Dann ist $(S,\cdot)$ eine Halbgruppe (Monoid, wenn $R$ Ring).
2. Sei $R$ ein Ring und $R^{\times}=\{r\in R\vert \exists s\in R: rs=sr=1\}$ . Dann ist $(R^{\times},\cdot)$ eine Gruppe und es gilt $R^{\times}\subseteq S$ .

Die Elemente von $R^{\times}=\{r\in R\vert \exists s\in R: rs=sr=1\}$ heißen Einheiten , $R^{\times}$ ist die Einheitengruppe. Ein Ring R ist ein Schiefkörper , wenn $R^{\times}=R \verb=\=\{0\}$ . Ein kommutativer Schiefkörper ist ein Körper .

Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper

Sei $R$ ein (Halb-)Ring.

1. $S\subseteq R$ heißt Unter(halb-)ring, geschrieben $S\leq R$ , falls $(S,+)$ (Halb-)Ring (mit $1_{S}=1{R}$ )
2. $I\subseteq R$ heißt (zweiseitiges) Ideal , geschrieben $I\unlhd R$ , wenn $(I,+)$ ein Halbring ist und $RI\subseteq I$ und $IR\subseteq I$

Sei $R$ ein Ring. Das Einheitsideal $I=R$ ist das einzige Ideal mit $1\in I$ . Ist $R$ ein Schiefkörper, so sind das Nullideal 0={0} und das Einheitsideal die einzigen Ideale.

Sei $R$ ein Ring, $I,J \unlhd R$ Ideale. Dann ergeben die folgenden Operationen wieder ein Ideal:

1. $I\cap J \unlhd R$
2. $I+J:=\{r+s\vert r\in I, s\in J\}\unlhd R$
3. $IJ:=\{\sum_{i=1}^{n} r_{i}s_{i}\vert n\in \mathbb{N}, r_{i}\in I, s_{i}\in J\}\unlhd R$

$IJ \subseteq I\cap J$

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $r_{1},..r_{k}\in R$ . Dann heißt $I=<r_{1},..r_{k}>=Rr_{1}+..+Rr_{2}$ das von $r_{1},..r{k}$ erzeugte Ideal . Ein Ideal $I\unlhd R$ heißt Hauptideal , wenn $\exists r\in I:I=<r>$ . Wenn $R$ ein Integritätsbereich und jedes $I\unlhd R$ ein Hauptideal ist, heißt $R$ Hauptidealring .

$\mathbb{Z}$ ist ein Hauptidealring.

Sei $R$ ein Halbring. Eine Äquivalenzrelation $\equiv$ auf R heißt Kongruenzrelation , wenn

$$\forall r_{1},r_{2},s_{1},s_{2} \in R: r_{1}\equiv r_{2}, s_{1}\e... ... s_{2} \Rightarrow r_{1}s_{1} \equiv r_{2}s_{2}, r_{1}+s_{1} \equiv r_{2}+s_{2}$$

Sei $\equiv$ eine Kongruenzrelation auf dem (Halb-)Ring $R$ . Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen $R/\equiv$ wieder ein (Halb-)Ring, der Faktor(halb-)Ring .

Sei $\equiv$ eine Kongruenzrelation auf dem Halbring R. Dann ist $[0]I$ ein Ideal in $R$ und es gilt: $r\equiv s \Leftrightarrow (r-s)\in I$ . Sei umgekehrt $I\unlhd R$ ein Ideal. Dann definiert $r\equiv s \Leftrightarrow (r-s)\in I$ eine Kongruenzrelation auf R.

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Ideal $M\lhd R$ heißt maximal , wenn $M\lneqq I\unlhd R \Rightarrow I=R$ . Bei einem Primideal $P\unlhd R$ folgt aus $rs\in P$ daß entweder $r\in P$ oder $s\in P$ .

Für $R=\mathbb{Z}$ gilt: $0\neq P\unlhd\mathbb{Z}$ Primideal $\Leftrightarrow P=<p>$ mit $p$ Primzahl $\Leftrightarrow P \unlhd \mathbb{Z}$ maximales Ideal

Sei $R$ ein kommutativer Ring.

1. $P\unlhd R$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R/P$ ein Integritätsbereich ist.
2. $M\lhd R$ ist genau dann maximales Ideal, wenn $R/M$ ein Körper ist.

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit den einzigen Idealen $0,R$ . Dann ist $R$ ein Körper.