1.2.3 Halbgruppenringe und Polynome

...

Seien $ R$ , $ R'$ , $ \phi$ , $ \rho$ wie oben, ferner sei $ S=(\mathbb{N},t)$ so dass $ R[S]=R[X]$ der univariante Polynomring ist. Dann existiert zu jedem $ r'\in R'$ genau ein Ringhomomorphismus $ \Phi: R[x]\rightarrow R'$ mit $ \phi=\Phi \rho$ und $ \Phi(x)=r'$

Beweis: Setze % latex2html id marker 4702
$ \Psi: \mathbb{N}\rightarrow R', n \mapsto (r')^{n...
...ho, \Psi=\Phi \sigma \Rightarrow
r'=\Psi(1)=\Phi(\sigma(1))=\Psi(e_{1})=\Psi(x)$
Sei R'...

  1. Ein Element $ r'\in R'$ heißt Nullstelle des Polynom $ f\in R[x]$ falls $ f(r')=$ ...
  2. Sei $ f=\sum_{i >=0} a_{i}x^{i}\in R[X]\\ {0}$ . Dann heißt die Zahl $ deg(f)=max\{i \in \mathbb{N}\vert a_{i}\neq 0\}$ der Grad von $ f$ . Für das Nullpolynom setzen wir $ deg(0)=-\infty$ .

Seien $ f,g \in R[X]$ . Dann gilt

  1. $ deg(f+g) \leq max\{deg(f), deg(g)\}$
  2. $ deg(fg) \leq deg(f) + deg(g)$

Ist $ R$ Integritätsbereich, so gilt $ deg(fg)=deg(f)+deg(g)$ , somit ist auch $ R[X]$ Integritätsbereich.

(Division mit Rest)

Seien $ f=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x^{i}, g=\sum_{j=0}^{m}k_{j}x^{j} \in
R[X]$ zwei Polynome mit $ b_{m}\in R^{\times}$ . Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Polynome $ q,r \in R[X]$ so dass

  1. $ f=qg+r$ und
  2. $ deg(r)<deg(g)$

Sei $ s \in R$ eine Nullstelle von $ f \in R[X]$ . Dann gilt: $ (x-s)\vert f$

Sei R ein Integritätsbreich und $ f \in R[X]$ ein Polynom mit $ deg(f)=n>0$ . Dann besitzt $ f$ in $ R$ höchstens $ n$ Nullstellen.