1.2.3 Halbgruppenringe und Polynome

...

Seien $R$ , $R'$ , $\phi$ , $\rho$ wie oben, ferner sei $S=(\mathbb{N},t)$ so dass $R[S]=R[X]$ der univariante Polynomring ist. Dann existiert zu jedem $r'\in R'$ genau ein Ringhomomorphismus $\Phi: R[x]\rightarrow R'$ mit $\phi=\Phi \rho$ und $\Phi(x)=r'$

Beweis: Setze $\Psi: \mathbb{N}\rightarrow R', n \mapsto (r')^{n... ...ho, \Psi=\Phi \sigma \Rightarrow r'=\Psi(1)=\Phi(\sigma(1))=\Psi(e_{1})=\Psi(x)$
Sei R'...

1. Ein Element $r'\in R'$ heißt Nullstelle des Polynom $f\in R[x]$ falls $f(r')=$ ...
2. Sei $f=\sum_{i >=0} a_{i}x^{i}\in R[X]\\ {0}$ . Dann heißt die Zahl $deg(f)=max\{i \in \mathbb{N}\vert a_{i}\neq 0\}$ der Grad von $f$ . Für das Nullpolynom setzen wir $deg(0)=-\infty$ .

Seien $f,g \in R[X]$ . Dann gilt

1. $deg(f+g) \leq max\{deg(f), deg(g)\}$
2. $deg(fg) \leq deg(f) + deg(g)$

Ist $R$ Integritätsbereich, so gilt $deg(fg)=deg(f)+deg(g)$ , somit ist auch $R[X]$ Integritätsbereich.

(Division mit Rest)

Seien $f=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x^{i}, g=\sum_{j=0}^{m}k_{j}x^{j} \in R[X]$ zwei Polynome mit $b_{m}\in R^{\times}$ . Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Polynome $q,r \in R[X]$ so dass

1. $f=qg+r$ und
2. $deg(r)<deg(g)$

Sei $s \in R$ eine Nullstelle von $f \in R[X]$ . Dann gilt: $(x-s)\vert f$

Sei R ein Integritätsbreich und $f \in R[X]$ ein Polynom mit $deg(f)=n>0$ . Dann besitzt $f$ in $R$ höchstens $n$ Nullstellen.