1.2.4 Zerlegung in Primfaktoren

Es sei in diesem Abschnitt $R$ ein Integritätsbereich.

Seien $r,s \in R$ . Wir sagen r teilt s, geschrieben r|s, falls $\exists t \in R: s=rt$ , d.h. $\langle r \rangle\supseteq \langle s \rangle$ . Wir sagen r ist assoziiert zu s, geschrieben $r\simeq s$ , falls $\exists t \in R^{\times}$ : s=rt (dann gilt r|s) und s|r, d.h. $\langle r \rangle=\langle s \rangle$ . $r$ ist ein trivialer Teiler von $s$ , falls $r\simeq s$ oder $r\simeq 1$ . Ein Element $u \in R\\ R^{\times}$ heißt irreduzibel (unzerlegbar), wenn en nur triviale Teiler besitzt. $p \in R\\ R^{\times}$ ist ein Primelement , wenn

$$\forall r,s\in R:p\vert rs \Rightarrow p\vert r \vee p\vert s$$

.

Es gilt:

1. $r\simeq s$ definiert eine Äquivalenzklasse
2. $R^{\times}=\{ r\in R \vert r \simeq 1 \}$

Es gilt:

1. $n \in R$ ist genau dann irreduzibel, wenn $<u>$ maximal unter allen nichttrivialen Hauptidealen in R ist.
2. $p \in R$ ist genau dann prim, wenn $\langle p \rangle$ ein Primideal ist.

Sei $R$ ein Hauptidealring, dann gilt: $\langle u \rangle$ irreduzibel $\Leftrightarrow \langle u \rangle$ maximal

Jedes Primideal ist irreduzibel.

Sei $R$ ein Hauptidealring. Dann ist ein Element $p\in R\{0\}$ genau dann irreduzibel, wenn p prim ist.

Seien $r_{1},..r_{n}\in R$ . Ein Element $d\in R$ heißt Größter gemeinsamer Teiler von $r_{1},..r_{n}$ , geschrieben d=ggT( $r_{1},..r_{n}$ ), wenn d jedes $r_{i}$ teilt und jedes andere $t\in R$ mit dieser Eigenschaft ein Teiler von d ist. Entsprechend heißt $v\in R$ Kleinstes Gemeinsames Vielfache , geschrieben $v\in kgV(r_{1},..r_{n})$ , wenn jedes $r_{i}$ $v$ teilt und $v$ ein Teiler von $t\in R$ mit dieser Eigenschaft ist.

ggT und kgV sind nur bis auf assoziierte eindeutige bestimmt.

Sei R ein Hauptidealring und $r_{1},..r{n}\in R$ derart, dass $ggT(r_{1},..r{n}) \neq 0$ . Dann gibt es zu jedem $d\in ggT(r_{1},..r{n})$ Elemente $s_{1},..s_{n}\in R$ mit $d=\sum_{i=1}^{n}{s_{i}r_{i}}$

Ein Integritätsbereich R heißt Euklidischer Ring , wenn es eine Abbildung $\delta :R \ \{0\} \rightarrow \mathbb{N}$ gibt so dass

$$\forall f\in R,g\in R\verb=\=\{0\}\exists q,r\in R:f=qg+r \wedge (r=0 \vee \delta(r)<\delta(g))$$

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Wenn $K$ ein Körper, ist $K[X]$ ein Hauptidealring

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Gruppe , wenn jede aufsteigende Kette von Idealen $I_{1}\leq I_{2}\leq...\leq R$ stationär wird, d.h.

$$\exists n\in \mathbb{N} \forall m>n: I_{m}=I{n}$$

Wenn $K$ ein Körper, ist $K[X]$ ein Hauptidealring

Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch , wenn jede aufsteigende Kette von Idealen $I_{1}\leq I_{2}\leq..\leq R$ stationär wird, d.h.

$$\exists n\in \mathbb{N}\forall m>n I_{m}=I_{n}$$

Jeder Hauptidealring ist noethersch.

Wenn in dem Integritätsbereich $R$ jede aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär wird, dann läßt sich jede Nichteinheit $0 \neq r \in R\\ R^{\times}$ als Produkt endlich vieler irreduzibler Elemente schreiben.

Ein Integritätsbereich $R$ heißt faktorieller Ring , wenn sich jede Nichteinheit $0 \neq r \in R\\ R^{\times}$ als endliches Produkt irreduzibler Elemente schreiben läßt und die Faktoren dieser Darstellung bis auf die Reihenfolge und Einheiten eindeutig sind.

Ein Integritätsbereich ist genau dann faktoriell, wenn

1. jede aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär wird und
2. jedes unzerlegbare Element von R auch prim ist.

Jeder Hauptidealring ist faktoriell

Wenn $\mathbb{P}_{R}$ ein Vertretersystem der assoziierten Primelemente in einem faktoriellen Ring R, dann läßt sich jedes Element $0 \neq r \in R\\ R^{\times}$ eindeutig in der Form

$$r=\epsilon \prod_{p \in \mathbb{P}_{R}}p^{ord_{p}(r)}$$

zerlegen.