1.2.5 Quotientenringe

Sei $R$ ein kommutativer Ring, $S\leq R\verb=\=\{0\}$ ein Untermonoid von $(R,\cdot)$ . Dann wird durch

$$(r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2}) :\Leftrightarrow \exists s\in S: s(s_{2}r_{1}-s_{1}r_{2})=0$$

eine Äquivalenzrelation definiert auf $R\times S$ .

Unter den Voraussetzungen von Lemma 1 ist $S^{-1}R$ mit den Verknüpfungen

$$+: S^{-1}R\times S^{-1}R, (r_{1}/s_{1},r_{2}/s_{2})\mapsto (r_{1}s_{2}+s_{1}r_{2})/s_{1}s_{2}$$

$$\cdot: S^{-1}R\times S^{-1}R, (r_{1}/s_{1},r_{2}/s_{2})\mapsto r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2}$$

ein kommutativer Ring. Darüber hinaus ist

$$\lambda_{S}:R\rightarrow S^{-1}R,r\mapsto r/1$$

ein Ringhomomorphismu mit $\lambda_{S}(S)\leq(S^{-1}R)^{\times}$

$\lambda_{S}$ ist injektiv falls $S$ keine Nullteiler von $R$ enthält.

(Universelle Abbildungseigenschaft) Sei $R$ ein kommutativer Ring, $S\leq R\\ \{0\}$ ein Untermonoid. Wenn $T$ ein weiterer kommutativer Ring mit einem Ringhomomorphismus $\phi:R\rightarrow T$ mit $\phi(S)\subseteq T^{\times}$ ist, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $\Psi:S^{-1}R\rightarrow T$ mit $\Psi \circ \lambda(S)=\phi$

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $S=R\\ \{0\}$ . Dann ist $S^{-1}R$ ein Körper.

Der Ring $S^{-1}R$ mit $\lambda(S):R\rightarrow S^{-1}R$ heißt Quotientenring von $R$ bzgl. $S$ . Wenn $R$ ein Integriätsbereich und $S=R\\ \{0\}$ ist, erhält man den Quotientenkörper von $R$ , geschrieben $Quot(R)$

Sei $R$ ein kommutativer Ring, $I\unlhd R$ ein Ideal und $S\leq R\\ \{0\}$ ein Untermonoid. Dann ist

$$S^{-1}I=\{r/s\vert r\in I,s\in S\}$$

ein Ideal im Quotientenring.

Sei R ein kommutativer Ring und $P\unlhd R$ ein Primideal. Dann besitzt für $S=R\\ P$ der Quotientenring $S^{-1}R$ nur ein maximales Ideal, nämlich $S^{-1}R \verb=\= (S^{-1}R)^{\times}$

Ein kommutativer Ring mit einem einzigen maximalen Ideal heißt lokaler Ring . Wenn $P\unlhd R$ ein Primideal ist und $S=R\\ P$ , dann heißt $R_{P}=S^{-1}R$ die Lokalisierung von $R$ bei $P$ (mit maximalem Ideal $M_{P}=S^{-1}P$ )

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $P\unlhd R$ Primideal. Dann gilt: $Quot(R/P)\cong R_{P}/M_{P}$