1.2.6 Teilbarkeit in Polynomringen

Sei $R$ ein fakorieller Ring und $f=\sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} \in R[x]$ . Dann heißt $c(f)\in ggT(a_{0},..a_{n}$ Inhalt von f. Das Polynom f heißt primitiv , wenn $c(f)\simeq 1$ , d.h. $c(f)\in R^{\times}$ .

Lemaußsches Lemma : Sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann gilt für $f,g\in R[x]$ , daß $c(fg)\simeq c(f)c(g)$ .

Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K=Quot(R)$ der zugehörige Quotientenkörper. Dann sind für ein primitives Polynom $f\in R[x]$ die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $f$ ist irreduzibel in $R[x]$
2. $f$ ist irreduzibel in $K[x]$
3. $f$ ist Primelement in $K[x]$
4. $f$ ist Primelement in $R[x]$

Sei $R$ ein Integritätsbereich. $p \in R$ ist genau dann prim, wenn $p$ auch ein Primelement von $R[x]$ ist.

Satz von Gauß : $R[x]$ ist genau dann faktoriell, wenn $R$ faktoriell ist.

$\mathbb{Z}[x]$ ist faktoriell, aber $\mathbb{Z}[x]$ ist kein Hauptidealring, da $\langle 2,x \rangle$ Ideal.

Kronecker-Verfahren zur Primzerlegung : Sei $R$ ein faktorieller Ring mit endlicher Einheitengruppe, in dem Primzerlegung in endlich vielen Schritten möglich ist. Dann kann auch in $R[x]$ eine Primzerlegung in endlich vielen Schritten berechnet werden.

Durch vollständige Induktion kann der vorstehende Satz auch auf $R[x_{1},...x_{n}]$ erweitert werden.

Seien $R$ , $\overline{R}$ Integritätsbereiche, $\phi:R\rightarrow \overline{R}, r\mapsto \overline{r}:=\phi(r)$ ein Ringhomomorphismus, der durch $\overline{\phi}(x)=x$ zu einem Homomorphismus $\overline{\phi}: R[x]\rightarrow \overline{R}[x]$ fortgesetzt wird. Weiter sei $f=\sum_{i=0}^{n}a_{i}r^{i} \in R[x]$ ein primitives Polynom mit $\overline{a}_{n}\neq a$ . Wenn $\overline{f}=\overline{\phi}(f) in \overline{R}[x]$ irreduzibel ist, dann ist auch $f\in R[x]$ irreduzibel.

Eisenstein-Kriterium : Sei $R$ ein Integritätsbereich, $f=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}} \in R[x]$ ein primitives Polynom. Wenn es ein Primelement $p \in \mathbb{P}_{R}$ gibt mit

1. $p \nshortmid a_{n}$
2. $p \vert a_{i}, 0\leq i\leq n$
3. $p^{2} \nshortmid a_{0} \Rightarrow f$    irreduzibel in $R[x]$

Sei $p \in \mathbb{P}$ Primzahl. Dann ist $f=x^{p-1}+..+x+1 \in \mathbb{Z}[x]$ irreduzibel.