1.4.1 Der Aufbau eines Körpers

Sei $K$ ein Körper. Ein Teilkörper ist ein Unterring $T \leq K$ der selbst wieder ein Körper ist. $K$ wird dann auch Oberkörper oder Erweiterungskörper von $T$ genannt. Da der Durchschnitt zweier Teilkörper wieder ein Körper ist, enthält K einen eindeutig bestimmten Teilkörper, den Primkörper $P=\bigcap_{T Teilkörper} T$

Sei $K$ ein Körper mit Primkörper $P$ . Dann gilt:

1. $char K=p>0 \Leftrightarrow P \cong \mathbb{F}_{p}=(\mathbb{Z}_{p},+,*)$
2. $char K=0 \Leftrightarrow P \cong \mathbb{Q}$

Es gilt:

1. $\Phi$    injektiv $\Rightarrow K[X] \cong K[\theta] \wedge K(\theta)=Quot(K[\theta]) \cong K(x)$
2. $\Phi$    nicht injektiv $\Rightarrow \exists 0 \neq f_{\theta} \in K[X]: ker \Phi =<f_{\theta}> \wedge K(\theta) \cong K[x)/<f_{\theta}>$

Seien $K\leq L$ Körper. Ein Element $\theta$ heißt transzendent über $K$ , wenn $K(x) \cong K(\theta)$ . $L/K$ ist eine transzendente Körpererweiterung , wenn $\exists \theta \in L: \theta$ transzendent. Ein Element $\theta \in L$ heißt algebraisch, wenn

$$\exists 0 \neq f \in K[x]:K(\theta) \cong K[x]/<f_{\theta}>$$

. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom mit dieser Eigenschaft ist das Minimalpolynom von $\theta$ . $L/K$ ist eine algebraische Körpererweituerng , wenn alle $\theta \in L$ algebraisch sind.

Seien $K\leq L$ Körper. Elemente $\theta_{1},..\theta_{n} \in L$ heißen algebraisch unabhängig über $K$ , wenn

$$\forall f\in K[x_{1},..x_{n}]: f(\theta_{1},..\theta_{n})=0 \Rightarrow f=0$$

. Andernfalls sind $\theta_{1},..\theta_{n}$ algebraisch abhängig. Eine Teilmenge $S \subseteq L$ ist algebraisch unabhängig über $K$ wenn jede endliche Teilmenge $S$ es ist. Eine algebraisch unabhängige Teilmenge $B leq L$ ist eine Transzendenzbasis von $L/K$ , wenn $L/K(B)$ algebraisch ist. $L/K$ ist eine transzendente Erweiterung , wenn eine Tranzendenzbasis existiert, so dass $L=K(B)$ .

Sei $L/K$ Körpererweiterung.

1. Es existiert eine Transzendenzbasis von $L/K$
2. Jede über $K$ algebraisch unabhängige Menge $B' \subset L$ läßt sich zu einer Transzendenzbasis $B von L/K$ erweitern.
3. Alle Tranzendenzbasen von $L/K$ sind $\uparrow$ gleichmächtig .