1.4.2 Algebraische Erweiterungen

Sei $L/K$ Körpererweiterung. Dann ist $L$ ein $K$ -Vektorraum.

$[L:K]=dim_{K}L$ heißt Grad der Körpererweiterung $L/K$ . Für $[L:K]< \infty$ spricht man von einer endlichen Körpererweiterung.

Es gilt:

1. Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch.
2. Sei $\theta \in L$ algebraisch über $K$ mit Minimalpolynom $f_{\theta}$ . Dann gilt:
   $$[K(\theta):K]=deg f_{\theta}$$
   .

Seien $K \leq L \leq M$ Körper. $M/K$ ist genau dann endlich, wenn $M/L$ und $L/K$ endlich ist. Es gilt dann

$$[M:K]=[M:L][L:K]$$

Sei M/K endlich und $\theta \in M$ mit Minimalpolynom $f_{\theta}$ . Dann gilt: $g_{\theta}$ = $f_{\theta}^{[M:K(\theta)]}$ .

$g_{\theta} \in K[x] heißt \textbf{\emph{Hauptpolynom}} \index{Hauptpolynom}$ von $\theta$ und hängt nur von $\theta$ und $M$ ab.

Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach , wenn

$$\exists \theta \in L:L=K(\theta)$$

$L/K$ ist endlich erzeugt , wenn

$$\exists n \in \mathbb{N}, \theta_{1},..\theta_{n} \in L: L=K(\theta_{1},..\theta_{n})$$

L/K ist genau dann eine endliche Erweiterung, wenn

$$\exists n \in \mathbb{N}, \theta_{1},..\theta_{n} \in L:L=K(\theta_{1},..\theta_{n}) \wedge \theta_{1},..\theta_{n}$$    algebraisch über $$K$$

Seien $K \leq L \leq M$ Körper und L/K algebraisch. Ist $\theta \in M$ algebraisch über $L$ , dann ist $\theta$ algebraisch über $K$ .

Seien $K\leq L$ Körper. Dann ist $K^{~}=\{\theta \in L \vert \theta$    algebraisch über $K \}$ ein Körper.

$\tilde{K}$ heißt der algebraische Abschluß von $K$ in $L$