1.4.3 Der algebraische Abschluß

DefEin Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen , wenn jedes nichtkonstante Polynom $f \in K[x]$ eine Nullstelle in K besitzt (d.h. jedes solche Polynom zerfällt über $K$ in Linearfaktoren).

Satz von Kronecker : Sei $K$ ein Körper und $f \in K[x]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom. Dann existiert eine endliche Körpererweiterung $L/K$ vom Grad $n$ mit einem $\theta \in L$ , so dass $f(\theta)=0$ und $L=K(\theta)$ . $L$ ist durch diese Bedingung bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt.

Seien $K,K'$ Körper mit einem Isomorphismus $\phi: K[x] \rightarrow K'[x]$ , $a \mapsto a'$ , sowie den induzierten Isomorphismus $\phi':K[x] \rightarrow$ , $f \mapsto f'$ . Sei $f \in K[x]$ prim und $L=K(\theta)$ mit $f(\theta)=0$ sowie $L'=K'(\theta*)$ mit $f'(\theta*)=0$ . Dann existiert ein eindeutig bestimmter Isomorphismus $\Phi:L \rightarrow L'$ mit $\Phi(\theta)=\theta*$ und $\Phi\mid _{K} =\phi$ .

Ein Körper $L$ mit der Eigenschaft des Satzes von Kronecker heißt Stammkörper des Polynoms $f \in K[x]$

Sei $I \lneqq R$ ein Ideal in einem Ring $R\neq 0$ . Dann besitzt $R$ ein maximales Ideal $M$ mit $I \leq M$

Zu jedem Körper $K$ existiert ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper $L$

Zu jedem Körper $K$ existiert ein algebraisch abgeschlossener Erweiterung $\bar{K}/K$ , die algebraisch ist.

$\bar{K}$ nennt man einen algebraischen Abschluss von $K$ .

Sei $L/K$ eine algebraische Erweiterung und $\phi:K \rightarrow M$ ein Körperhomomorphismus in einem algebraisch abgeschlossenen Körper $M$ . Dann existiert eine Fortsetzung $\Phi:L \rightarrow M$ mit $\Phi \mid _{M}=\phi$ . Wenn $L$ ebenfalls algebraisch abgeschlossen und $M/im\phi$ algebraisch ist, dann ist jede Fortsetzung ein Isomorphismus.

Seien $\bar{K}_{1}$ , $\bar{K}_{2}$ zwei algebraische Abschlüsse von K. Dann existiert ein K-Isomorphismus $\bar{K}_{1}\rightarrow \bar{K}_{2}$ .