Sei eine Menge nichtkonstanter Polynome über Körper . Ein Erweiterungskörper heisst Zerfällungskörper von F, wenn
Eine algebraische Körpererweiterung heisst normal , wenn jedes irreduzible Polynom , das eine Nullstelle von besitzt, über vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
Sei ein Körper, ein algebraischer Abschluss von . Ferner sei eine algebraische Erweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
Folgende Aussagen sind äquivalent:
Seien algebraische Körpererweiterungen. Wenn normal ist, dann auch .
Sei eine algebraische Erweiterung. Eine algebraische Erweiterung heisst normale Hülle von , wenn normal ist aber kein echter Teilkörper normal über ist.
Sei eine algebraische Erwetierung. Dann ist eine bis auf -Isomorphie eindeutig bestimmte normale Hülle .
Sei ein endlicher Körper. Dann gilt so dass der Primkörper von isomorph zu ist. Ausserdem gilt: mit und ist ein Zerfällungskörper zu (also normal).
Sei und eine Nullstelle. ist genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn
Zu jedem , gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit , nämlich den Zerfällungskörper von über .
Sei eine abelsche Gruppe. Wenn zwei Elemente endlicher Ordnung bzw. enthält, dann gibt es in auch ein Element der Ordnung .
Sei ein Körper und eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe . Dann ist zyklisch. Ist also insbesondere ein endlicher Körper , so ist eine zyklische Gruppe der Ordnung .