1.4.4 Normale Körpererweiterungen

Sei $ F=\{f\vert i\in I\} \subseteq K[x]$ eine Menge nichtkonstanter Polynome über Körper $ K$ . Ein Erweiterungskörper heisst Zerfällungskörper von F, wenn

  1. jedes Polynom $ f_{i}\in F$ über L vollständig in Linearfaktoren zerfällt, und
  2. die Erweiterung $ L/K$ von den Nullstellen der $ f_{i}$ erzeugt wird.

Eine algebraische Körpererweiterung $ N/K$ heisst normal , wenn jedes irreduzible Polynom $ f \in K[x]$ , das eine Nullstelle von $ N$ besitzt, über $ N$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Sei $ K$ ein Körper, $ \bar{K}$ ein algebraischer Abschluss von $ K$ . Ferner sei $ N/K$ eine algebraische Erweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. $ N/K$ ist normal
  2. $ N$ ist ein Zerfällungskörper einer Menge von irreduziblen Polynomen
  3. Jeder $ K$ -Homomorphismus $ \phi:N\rightarrow \bar{N}$ liegt in $ Aut(N/K)$

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. $ N/K$ normal und endlich
  2. $ N$ Zerfällungskörper eines Polynoms.

Seien $ K \leq L \leq M$ algebraische Körpererweiterungen. Wenn $ M/K$ normal ist, dann auch $ M/L$ .

Sei $ L/K$ eine algebraische Erweiterung. Eine algebraische Erweiterung $ N/L$ heisst normale Hülle von $ L/K$ , wenn $ N/K$ normal ist aber kein echter Teilkörper $ K\leq N'\leq N$ normal über $ K$ ist.

Sei $ L/K$ eine algebraische Erwetierung. Dann ist eine bis auf $ L$ -Isomorphie eindeutig bestimmte normale Hülle $ N/L$ .

Sei $ \mathbb{F}$ ein endlicher Körper. Dann gilt $ p=dim\mathbb{F}>0$ so dass der Primkörper von $ \mathbb{F}$ isomorph zu $ \mathbb{F}_{p}$ ist. Ausserdem gilt: $ \vert\mathbb{F}\vert=p^{n}$ mit $ n=[\mathbb{F}:\mathbb{F}_{p}]$ und $ \mathbb{F}$ ist ein Zerfällungskörper zu $ x^{\mu^{k}}-x \in \mathbb{F}_{p}[x]$ (also $ \mathbb{F}/\mathbb{F}_{p}$ normal).

Sei $ f \in K[x]$ und $ \theta \in L/K$ eine Nullstelle. $ \theta$ ist genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn $ f'(\theta)=0$

Zu jedem $ p \in \mathbb{P}$ , $ n\in N$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper $ \mathbb{F}_{q}$ mit $ \vert\mathbb{F}_{q}\vert=q=p^{n}$ , nämlich den Zerfällungskörper von $ x^{q}-x$ über $ \mathbb{F}_{q}$ .

Sei $ G$ eine abelsche Gruppe. Wenn $ G$ zwei Elemente endlicher Ordnung $ m$ bzw. $ n$ enthält, dann gibt es in $ G$ auch ein Element der Ordnung $ kgV(m,n)$ .

Sei $ K$ ein Körper und $ U$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe $ K^{\times}$ . Dann ist $ U$ zyklisch. Ist also insbesondere $ K$ ein endlicher Körper $ \mathbb{F}_{q}$ , so ist $ \mathbb{F}_{q}^{\times}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $ q-1$ .