1.4.4 Normale Körpererweiterungen

Sei $F=\{f\vert i\in I\} \subseteq K[x]$ eine Menge nichtkonstanter Polynome über Körper $K$ . Ein Erweiterungskörper heisst Zerfällungskörper von F, wenn

1. jedes Polynom $f_{i}\in F$ über L vollständig in Linearfaktoren zerfällt, und
2. die Erweiterung $L/K$ von den Nullstellen der $f_{i}$ erzeugt wird.

Eine algebraische Körpererweiterung $N/K$ heisst normal , wenn jedes irreduzible Polynom $f \in K[x]$ , das eine Nullstelle von $N$ besitzt, über $N$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Sei $K$ ein Körper, $\bar{K}$ ein algebraischer Abschluss von $K$ . Ferner sei $N/K$ eine algebraische Erweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $N/K$ ist normal
2. $N$ ist ein Zerfällungskörper einer Menge von irreduziblen Polynomen
3. Jeder $K$ -Homomorphismus $\phi:N\rightarrow \bar{N}$ liegt in $Aut(N/K)$

Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. $N/K$ normal und endlich
2. $N$ Zerfällungskörper eines Polynoms.

Seien $K \leq L \leq M$ algebraische Körpererweiterungen. Wenn $M/K$ normal ist, dann auch $M/L$ .

Sei $L/K$ eine algebraische Erweiterung. Eine algebraische Erweiterung $N/L$ heisst normale Hülle von $L/K$ , wenn $N/K$ normal ist aber kein echter Teilkörper $K\leq N'\leq N$ normal über $K$ ist.

Sei $L/K$ eine algebraische Erwetierung. Dann ist eine bis auf $L$ -Isomorphie eindeutig bestimmte normale Hülle $N/L$ .

Sei $\mathbb{F}$ ein endlicher Körper. Dann gilt $p=dim\mathbb{F}>0$ so dass der Primkörper von $\mathbb{F}$ isomorph zu $\mathbb{F}_{p}$ ist. Ausserdem gilt: $\vert\mathbb{F}\vert=p^{n}$ mit $n=[\mathbb{F}:\mathbb{F}_{p}]$ und $\mathbb{F}$ ist ein Zerfällungskörper zu $x^{\mu^{k}}-x \in \mathbb{F}_{p}[x]$ (also $\mathbb{F}/\mathbb{F}_{p}$ normal).

Sei $f \in K[x]$ und $\theta \in L/K$ eine Nullstelle. $\theta$ ist genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn $f'(\theta)=0$

Zu jedem $p \in \mathbb{P}$ , $n\in N$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper $\mathbb{F}_{q}$ mit $\vert\mathbb{F}_{q}\vert=q=p^{n}$ , nämlich den Zerfällungskörper von $x^{q}-x$ über $\mathbb{F}_{q}$ .

Sei $G$ eine abelsche Gruppe. Wenn $G$ zwei Elemente endlicher Ordnung $m$ bzw. $n$ enthält, dann gibt es in $G$ auch ein Element der Ordnung $kgV(m,n)$ .

Sei $K$ ein Körper und $U$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe $K^{\times}$ . Dann ist $U$ zyklisch. Ist also insbesondere $K$ ein endlicher Körper $\mathbb{F}_{q}$ , so ist $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $q-1$ .