1.4.5 Separable Körpererweiterungen

DefSei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f \in K[x]$ heisst separabel , wenn $f$ in $\bar{K}$ keine mehrfachen Nullstellen hat. Sei $L/K$ eine algebraische Erweiterung. Ein Element $\theta \in L$ heisst separabel über $K$ , falls sein Minimalpolynom $f_{\theta} \in K[x]$ separabel ist. Die Erweiterung $L/K$ heisst separabel, wenn alle $\theta \in L$ separabel sind.

Sei $K$ ein Körper und $f \in K[x]$ ein Polynom mit $deg f \geq 1$

1. Die mehrfachen Nullstellen von $f$ in einem algebraischen Abschluss $\bar{K}$ sind gerade die Nullstellen von $ggT(f,f')$ .
2. Ein irreduzibles Polynom f besitzt genau dann mehrfache Nullstellen, wenn $f'=0$ .

Sei $K$ ein Körper und $f \in K[x]$ ein irreduzibles Polynom.

1. Wenn $char K=0$ , dann ist $f$ separabel.
2. Für $char K>0$ ist $f$ genau dann inseparabel wenn ein Polynom $g \in K[x]$ existiert mit $f(x)=g(x^{p})$ .

Ein Körper $K$ heisst vollkommen , wenn alle irreduziblen Polynome $f \in K[x]$ separabel sind.

Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung und $\bar{K}$ ein algebraischer Abschluss. Wir setzen $Hom_{k}(L,\bar{K})=\{\phi:L\rightarrow\bar{K}\vert\phi$    K-Homomorphismus$\}$ . Dann ist der Separabilitätsgrad $[L:K]_{S}=\vert Hom_{K}(L,\bar{K})\vert$ . Da alle algebraischen Abschluesse isomorph sind, ist diese Definition unabhängig von $\bar{K}$ .

Sei $K$ ein Körper und $L\geq K$ der Stammkörper zu dem irreduziblen Polynom $f \in K[x]$ . Dann gilt:

1. $[L:K]_{S}\leq [L:K]$
2. $[L:K]_{S}= [L:K]$ genau dann wenn $f$ separabel.

Seien $M\geq L\geq K$ endliche Körpererweiterungen. Dann gilt:

$$[M:K]_{S}[M:L]_{S}=[L:K]_{S}$$

Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung.

1. Wenn $char K=0$ , so ist $[L:K]=[L:K]_{S}$
2. Für $char K=p>0$ existiert ein $r\in \mathbb{N}$ mit $[L:K]=p^{r}[L:K]_{S}$

Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $L/K$ ist separabel
2. $\exists \theta_{1},..\theta_{n}\in L: \theta_{1},..\theta_{n} separabel \wedge L=K(\theta_{1},..\theta_{n})$
3. $[L:K]=[L:K]_{S}$

Seien $K \leq L \leq M$ algebraische Körpererweiterungen. $M/K$ ist genau dann separabel, wenn $M/L$ und $L/K$ separabel sind.

Satz vom primitiven Element Sei $L/K$ eine endliche (separable) Körpererweiterung. Dann existiert ein primitives Element $\theta \in L$ mit $L=K{\theta}$ .

Sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f \in K[x]$ heisst rein inseparabel , wenn es in einem algebraischen Abschluss $\bar{K}$ genau eine Nullstelle besitzt. Sei $L/K$ eine algebraische Erweiterung. Ein Element $\theta \in L$ heisst rein inseparabel, wenn sein Minimalpolynom $f_{\theta} \in K[x]$ rein inseparabel ist. Die Erweiterung $L/K$ ist rein inseparabel, wenn jedes $\theta \in L$ rein inseparabel ist.

• Ist $char K=0$ , dann ist jedes irreduzible Polynom separabel.
• Ist $char K=p>0$ und $f \in K[x]$ rein inseparabel mit Nullstelle $\theta$ , dann ist $f=c f_{\theta}^{n}$ mit $c\in K$ .

Rein inseparable Erweiterungen sind immer normal.

Sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. $L/K$ rein inseparabel
2. Es existiert eine Menge $B=\{\theta_{i}\in L \vert i \in I\}$ rein inseparabler Elemente, so dass $L=K(B)$ .
3. $[L:K]_{S}=1$
4. Zu jedem $\theta \in L$ existiert ein $n\in \mathbb{N}$ , so dass $\theta^{(p^{n})}\in K$

Sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung. Dann exisitiert ein eindeutiger Zwischenkörper $K\leq K_{S}\leq L$ , so dass $K_{S}/K$ separabel und $L/K_{S}$ rein inseparabel ist. $K_{S}$ ist die separable Hülle von $K$ in $L$ , d.h. $K_{S}=\{theta\in L\vert \theta$    separabel über $K \}$ . Ferner gilt: $[L:K]_{S}=[K_{S}:K]$ .