1.5.1 Die Galois-Korrespondenz

Eine algebraische Erweiterung $L/K$ heisst galoisch , wenn sie normal und separabel ist. In diesem Fall nennt man $Gal(L/K)=Aut(L/K)$ die Galois-Gruppe .

Sei $N/K$ eine endliche normale Körpererweiterung. Dann gilt: $\vert Aut(N/K)\vert=[N:K]_{S}=[N:K]$ . Offensichtlich ist $N/K$ genau dann galoisch, wenn $\vert Aut(N/K)\vert=[N:K]$ .

Seien $K \leq L \leq M$ Körpererweiterungen mit $M/K$ galoisch.

1. $M/L$ ist ebenfalls galoisch und $Gal(M/L)\leq Gal(M/K)$ .
2. Wenn auch $L/K$ galoisch ist, so ist
   $$\rho: Gal(M/K)\rightarrow Gal(L/K), \sigma \mapsto sigma\vert _{L}$$
   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Satz von Artin Sei $L$ ein Körper und $G\leq Aut(L)$ eine Untergruppe.

1. $K=L^{G}:=\{\theta \in L\vert\sigma(\theta)=\theta \forall \sigma \in G\}$ ist ein Körper, der Fixkörper von $G$ .
2. Für eine endliche Untergruppe $G$ ist $L/K$ eine endliche Galois-Erweiterung mit $[L:K]=\vert G\vert-1$ und $Gal{L/K}=G$ .
3. Falls $G$ unendlich ist und $L/K$ algebraisch, so ist $L/K$ eine unendliche Galois-Erweiterung und es gilt $G \leq Gal(L/K)$ .

Sei $L/K$ eine normale algebraische Körpererweiterung und $G=Aut_{K}(L)$

1. $L/L^{G}$ ist galoisch mit Galois-Gruppe $G$ .
2. Ist $L/K$ galoisch, so gilt $L^{G}=K$ .
3. Ist $L/K$ inseparabel, so gilt $L^{G}/K$ rein inseparabel.

Hauptsatz der Galoistheorie Sei $L/K$ eine galoische Erweiterung mit Galois-Gruppe $G=Gal(L/K)$ . Wir definieren mit $\mathcal{U}=\{U\vert U\leq G\}$ und $\mathcal{E}=\{E\vert K\leq E \leq L\}$ die Abbildungen

$$\Phi: \mathcal{U}\rightarrow \mathcal{E}, U \mapsto L^{U}$$

$$\Psi: \mathcal{E}\rightarrow \mathcal{U}, E \mapsto Gal(L/E)$$

und es gilt:

1. $\Phi \circ \Psi=id$ , d.h. insbesondere ist $\Phi$ surjektiv und $\Psi$ injektiv. Wenn $L/K$ endlich ist, so gilt auch $\Psi \circ \Phi=id$ , d.h. $\Psi, \Phi$ sind zueinander invers.
2. Sei $U \leq G$ eine Untergruppe mit $(\Psi \circ \Phi)(U)=U$ . Der Fixkörper $L^{U}$ ist genau dann galoisch über $K$ , wenn $U$ ein Normalteiler von $G$ ist. In diesem Fall gilt für den surjektiven Gruppenhomomorphismus
   $$\rho: G \rightarrow Gal(L^{U}/K), \sigma \mapsto \sigma\vert _{L^{U}}$$
   dass $ker \rho=U$ und $\rho$ induziert einen Isomorphismus $G/U \rightarrow Gal(L^{U}/K)$ .

Seien $T_{1}, T_{2}\leq K$ zwei Teilkörper. Das Kompositum $T_{1}\cdot T_{2}$ ist der kleinste Teilkörper von $K$ der $T_{1}$ und $T_{2}$ enthält. Offensichtlich gilt: $T_{1}\cdot T_{2}=T_{1}(T_{2})=T_{2}(T_{1})$ .

Sei $L/K$ endliche galoische Erweiterung und $E_{1}, E_{2}$ zwei Zwischenkörper mit Galoisgruppen $U_{1}, U_{2} \leq G=Gal(L/K)$ . Dann gilt:

1. $E_{1} \leq E_{2}$
2. $E_{1} \cdot E_{2}=L^{U_{1}\cap U_{2}}$
3. $E_{1} \cap E_{2}=L^{<U_{1},U_{2}>}$

Nach Satz 7 haben wir für enldiche Galois-Erweiterungen $L/K$ Bijektionen. Nach Korollar 9o) drehen sich die Inklusionen um. So etwas nennt man auch Korrespondenz .

Eine galoische Erweiterung $L/K$ heisst abelsch (bzw. zyklisch ), wenn $Gal(L/K)$ abelsch (bzw. zyklisch) ist.

Sei $L/K$ endliche abelsche (bzw. zyklische) Erweiterung. Dann ist für jeden Zwischenkörper $E$ auch $E/K$ abelsch (bzw. zyklisch).

Translationssatz

Sei $L/K$ eine Körpererweiterung mit Zwischenkörper $E_{1}, E_{2}$ , die endliche galoische Erweiterungen von $K$ sind. Dann gilt:

1. $E_{1}\cdot E_{2}/K$ ist wieder endlich und galoisch.
2. Der Homomorphismus $\phi: Gal(E_{1}\cdot E_{2}/E_{1}) \rightarrow Gal(E_{2}/E_{1}\cap E_{2}),\sigma \mapsto \sigma\vert _{E_{2}}$ ist bijektiv.
3. Der Homomorphismus $\psi: Gal(E_{1}\cdot E_{2}/K) \rightarrow Gal(E_{1}/K) \times Gal(E_{2}/K),\sigma \mapsto (\sigma\vert _{E_{1}},\sigma\vert _{E_{2}})$ ist injektiv und für $E_{1} \cap E_{2}$ sogar bijektiv.