1.5.2 Die Galois-Gruppe eines Polynoms

Sei $K$ ein Körper, $f \in K[x]$ ein nichtkonstantes separables Polynom, und $N/K$ ein Zerfällungskörper von $f$ . Dann heisst Gal(f):=Gal(N/K) die Galois-Gruppe des Polynoms $f$ .

Sei $f \in K[x]$ ein separables Polynom mit $deg f = n>0$ und $\theta_{i},..\theta_{n} \in N$ die Nullstellen von $f$ in einem Zerfällungskörper $N/K$ . Die Abbildung

$$\rho: Gal(f) \rightarrow \delta(\{\theta_{1},..\theta_{n}\})\cong S_{n}, \sigma \mapsto \sigma\vert _{\{\theta_{1},..\theta_{n}\}}$$

definiert eine treue Permutationsdarstellung von $Gal{f}$ , d.h. einen injektiven Gruppenhomomorphismus. Das Polynom $f$ ist genau dann irreduzibel, wenn es transitiv auf $\{\theta_{1},..\theta{n}\}$ operiert.

Sei $L/K$ eine endliche galoische Erweiterung mit $[L:K]=n$ . Dann kann $Gal(L/K)$ als Untergruppe von $S_{n}$ betrachtet werden.

Seien $k$ ein Körper und $T_{1},..T_{n}$ über $k$ algebraisch unabhängig. Wir setzen $L=k(T_{1},..T_{n})$ und lassen $S_{n}$ auf $L$ durch Permutation operieren, d.h.

$$\sigma(f(T_{1},..T_{n}))=f(T_{\sigma(1)},..T_{\sigma(n)})$$

. Dann heisst der zugehörige Fixkörper $K=L^{S_{n}}$ der Körper der symmetrischen rationalen Funktionen . Das Polynom $f=x^{n}+T_{1}x^{n-1}+..+T_{n}$ heisst allgemeines Polynom vom Grad n .

...

Die elementarsymmetrischen Polynome sind algebraisch unabhängig über $k$ und es gilt $K=k(s_{1},..s_{n})$ .

Das allgemeine Polynom vom Grad $n$ $f\in k(S_{1},..S_{n})$ ist separabel und irreduzibel. Es gilt: $Gal(f)=S_{n}$