1.5.3 Kreisteilungskörper und Einheitswurzeln

SEi $K$ ein Körper und $N/K$ ein Zerfällungskörper des Polynoms $f_{n}=x^{n}-1 \in K[x]$ für ein $n\in \mathbb{N}$ .

1. $N/K$ ist galoisch
2. Wenn $char K \nmid n$ , dann ist $W_{A}=\{\zeta\in N\vert f_{n}(\zeta)=0\}$ eine zu $(\mathbb{Z},+)$ isomorphe zyklische Untergruppe von $N^{\times}$
3. Falls $char K=p$ und $n=p^{k}m$ mit $ggT(p,m)=1$ , dann ist $W_{n}\cong (\mathbb{Z}_{n},+)$ .

$\zeta \in W_{n}$ heisst n-te Einheitswurzel . Falls $W_{n}=<\zeta>$ , spricht man von einer primitiven Einheitswurzel .

Die Eulersche $\phi$ -Funktion $\phi: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ ist definiert durch $\phi(n)=\vert\mathbb{Z}_{n}^{\times}\vert$

Es gilt:

1. $\phi(n)=\vert\{0 \leq m \leq n \vert ggT(n,m)=1\}\vert$
2. Ist $ggT(n,m)=1$ , dann ist $\phi(n m)=\phi(n) \phi(m)$ .
3. Sei $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot..\cdot p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von n, dann gilt: $\phi(n)=\prod_{i=1}^{k} p_{i}^{r_{i}-1}(p_{i}-1)$

Sei $m \in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}$ . $<[m]>=(\mathbb{Z}_{n},+) \Leftrightarrow [m]\in \mathbb{Z}_{n}^{\times}$ .

Sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb{N}$ , so dass $char K \nmid n$ . Dann gibt es genau $\phi(n)$ primitive n-te Einheitswurzeln. Sei $\zeta \in W_{n}$ primitiv und $r \in \mathbb{Z}$ . $\zeta^{r}$ ist genau dann primitiv, wenn $[r] \in \mathbb{Z}_{n}^{\times}$ .

Seien $char K \nmid n$ und $\zeta_{1},..\zeta_{\phi(n)}$ die primitiven n-ten Einheitswurzeln. Dann heisst $\Phi_{n}:=\prod_{i=1}^{\phi(n)}(x-\zeta_{i})$ das n-te Kreisteilungspolynom , und ein Zerfällungskörper $K^{(n)}$ von $\Phi_{n}$ n-ter Kreisteilungskörper .

$\mathbb{Q}^{(n)}/\mathbb{Q}$ ist eine endliche galoische Erweiterung mit $[\mathbb{Q}^{(n)}:\mathbb{Q}]=\phi(n)$ .

Sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb{N}$ mit $char K \nmid n$ . Ferner sei $\zeta \in W_{n}$ primitv und $K^{n}=K(\zeta)$ .

1. $K^{(n)}/K$ ist eine endliche zyklische galoische Erweiterung mit $[K^{(n)}:K] \leq \phi(n)$ .
2. Zu jedem $\sigma \in Gal(K^{(n)}/K)$ existiert ein $r_{\sigma}\in \mathbb{N}$ mit $\sigma(\zeta)=\zeta^{r_{\sigma}}$ . Dabei ist $[r_{\sigma}]\in \mathbb{Z}_{n}^{\times}$ unabhängig von $\zeta$ eindeutig durch $\sigma$ bestimmt. Die Abbildung
   $$\Psi: Gal(K^{(n)}/K)\rightarrow \mathbb{Z}_{n}^{\times}, \sigma \mapsto [r_{sigma}]$$
   ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus, der für $K=\mathbb{Q}$ sogar bijektiv ist.

Es gilt:

1. $\Phi_{n} \in K[x]$ ist normiert und separabel, $deg \Phi_{n}=\phi(n)$
2. Für $K=\mathbb{Q}$ gilt $\Phi_{n}\in \mathbb{Z}[x]$ und $\Phi_{n}$ ist irreduzibel.
3. $x^{n}-1=\prod_{d\vert n,d>0}\Phi_{d}$
4. Sei $char K \nmid n$ Anwenden des kanonischen Homomorphismus $\mathbb{Z}\rightarrow K$ transformiert das n-te Kreisteilungspolynom $\Phi_{n}$ über $\mathbb{Q}$ in das entsprechende Polynom $\tilde{\Phi}_{n}$ über $K$ .

Satz von Kronecker-Weber Sei $L/\mathbb{Q}$ mit $L \leq \mathbb{C}$ eine endliche abelsche galoische Erweiterung. Dann existiert ein $n\in \mathbb{N}$ mit $L\leq \mathbb{Q}^{(n)}$ .