1.1.4 Transformationsgruppen

Sei $M$ eine Menge und $G$ eine Gruppe. $G$ ist eine Transformationsgruppe auf $M$ ($G$ operiert auf $M$ ), wenn es eine Abbildung

$$\phi:G\times M \rightarrow M, (g,x)\mapsto gx$$

gibt mit

1. $\forall x\in M: ex=x$
2. $\forall f,g\in G, x\in M:(fg)x=f(gx)$

Sei $g\in G$ fest. Dann ist $\phi_{g}:M\rightarrow M, x\mapsto gx$ , und $\phi_{g}\in S(M)$ . Die Abbildung $\pi: G\rightarrow S(M), g\mapsto \phi_{g}$ ist ein Gruppenhomomorphismus und wird Permutationsdarstellung genannt. Ist $\pi$ injektiv, dann sagt man, $G$ operiere treu auf $M$ .

Es sei $\phi:G\times M\rightarrow M$ eine Operation.. für $x \in M$ heisst

$$Gx:={gx\vert x\in M, g\in G}\subseteq M$$

der Orbit von $x$ unter $G$ . Falls $Gx$ =x, so sagt man, $x$ ist Fixpunkt .

$$G_{x}:=\{g\vert gx=x\} \leq G$$

heisst Stabilisator (auch Fixgruppe, Isotropiegruppe) von $x$ .

$M$ besitzt disjunkte Zerlegungen in Orbits. falls $\exists x\in M:Gx=M$ , so operiert $G$ transitiv auf $M$ . $M$ heisst dann homogener Raum, es gibt dann eine Bijektion $M\Leftrightarrow G/G^{\times}$ . Eine Teilmenge $\{x_{i}\vert i\in I\}\subseteq M$ heisst Vertretersystem der Orbits von $M$ , falls $M=\dot{\bigcup}_{i\in I}Gx_{i}$

Bahnbilanzgleichung: Die Gruppe $G$ operiere auf M.

1. $\forall x\in M:\vert Gx\vert=(G:G_{x})$
2. $Sei \{x_{i}\vert i\in I\}$ Vertretersystem der Orbits von $M$ . Dann gilt: $\vert M\vert=\sum_{i\in I}\vert Gx_{i}\vert=\sum_{x\in I}(G:G_{x_{i}})$