1.1.3 Normalreihen und Kompositionsreihen

Sei $G$ eine Gruppe. Eine endliche absteigende Reihe von Normalteilern

$$G=N_{0} \vartriangleright N_{1} \vartriangleright .. \vartriangleright .. N_{r}=E$$

heisst Normalreihe der Länge $r$ . Die Faktorgruppen $N_{i}:=N_{i}/N_{i+1}$ heissen Normalfaktoren. Zwei Normalreihen $(N_{1},..N_{r}), (M_{1},..M_{r})$ der gleichen Länge heissen äquivalent , wenn es Perumatationen $\pi \in \mathfrak{S}_{r}$ gibt, so dass $\forall i\in \{1,..r\}: \bar{N}_{i}\cong \bar{M}_{i}$ . Eine Normalreihe heisst Kompositionsreihe, wenn alle Normalfaktoren einfach sind.

Nicht jede Gruppe besitzt eine Kompositionsreihe, etwa $G=(\mathbb{Z},+)$ besitzt keine.

Jede endliche Gruppe besitzt eine Kompositionsreihe

Jordan-Hölder: Sei $G$ eine endliche Gruppe. Dann haben alle Kompositionsreihen die selbe Länge und sind einander äquivalent.

Sei $G$ eine Gruppe. Für $f,g\in G$ heisst $[f,g]:=fgf^{-1}g^{-1}$ der Kommutator von $f,g$ . $G'=<[f,g]\vert f,g\in G>$ heisst die Kommutatorgruppe von $G$ . Es gilt: $[f,g]^{-1}=[g,f]$

Sei $G$ eine Gruppe mit Kommutatorgruppe $G'$ . Dann gilt: $G'\unlhd G$ und $G/G'$ abelsch. Für $N\leq G$ gilt: $N \unlhd G \wedge G/N$    abelsch $\Leftrightarrow G' \leq N$ .

Sei $G$ eine Gruppe. $G$ heisst auflösbar, falls $\exists r\in \mathbb{N}:G^(r)=E$ .

Eine endliche Gruppe $G$ ist genau dann auflösbar, wenn sie eine Normalreihe mit abelschen Normalfaktoren besitzt.

Sei $N\unlhd G$ ein Normalteiler. $G$ ist genau dann auflösbar, wenn $N$ und $G/N$ auflösbar ist.