1.1.2 Homomorphismen

Seien , Gruppen. Eine Abbildung $\phi:G\rightarrow H$ heißt Gruppenhomomorphismus , falls

$\displaystyle \forall f,g\in G: \phi(fg)=\phi(f)\phi(g)$

. Falls

, heißt $\phi$ Endomorphismus, ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus , ein bijektiver Endomorphismus heißt Automorphismus . Die Menge $\ker\phi:=\{g\in G\vert \phi(g)=e_{H}\}$ heißt Kern von $\phi$

$\displaystyle \phi \in \mathrm{Hom}\,(G,H) \Rightarrow \mathrm{im}\,\phi \leq H, \ker \phi \unlhd G$

Homomorphisatz : Seien , Halbgruppen, $\phi:G\rightarrow H$ ein Halbgruppenhomomorphismus. Dann gilt:

$\displaystyle \mathrm{im}\,\phi \cong G/\phi$

Sind

und

Gruppen, so gilt:

$\displaystyle G/\phi=G/\ker\phi$

Seien $G_{i}, i\in \mathbb{Z}$ Gruppen und $\phi_{i}:G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ Homomorphismen. Die Sequenz

$\displaystyle ..\rightarrow G_{i-1}\overset{\phi_{i-1}}{\longrightarrow} G_{i}\overset{\phi_{i}}{\longrightarrow}..$

heißt exaktk wenn

$\displaystyle \forall i\in \mathbb{Z}: \mathrm{im}\,\phi_{i-1}=\ker\phi_{i}$

1. Isomorphisatz : Sei eine Gruppe, $U \leq G$ , $N\unlhd G$ . Dann gilt:

$\displaystyle N\unlhd NU \leq G$ und $\displaystyle U\cap N \unlhd U$ sowie $\displaystyle NU/N \cong U/U\cap N$

2. Isomorphiesatz : Sei eine Gruppe, $N\unlhd G$ . Ferner sei

$\displaystyle \mathcal{U}_{N}:=\{U\vert N\leq U\unlhd G\}$ und $\displaystyle \overline{\mathcal{U}}:=\{\overline{U}\vert\overline{U}\leq G/N\}$

. Dann gilt für ein $U\in \mathcal{U}_{N}$ :

$\displaystyle U\unlhd G \Leftrightarrow U/N \unlhd \overline{G}$ und $\displaystyle G/U \cong \overline{G}/\overline{U}$

Sei $E\neq U \lneqq (\mathbb{Z},+)$ . Dann existiert ein $m\in \mathbb{Z}$ mit $U=m\mathbb{Z}$ .

Sei zyklische Gruppe. Dann gilt: $\begin{displaymath}G \cong \begin{cases} \mathbb{Z}&\text{für } \vert G\vert=\in... ...:=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}&\text{für } \vert G\vert=m \end{cases}\end{displaymath}$